Билинейная форма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Пусть [math]\displaystyle{ L }[/math] есть векторное пространство над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] (чаще всего рассматриваются поля [math]\displaystyle{ K=\mathbb R }[/math] или [math]\displaystyle{ K=\mathbb C }[/math]).

Билинейной формой называется функция [math]\displaystyle{ F\colon L\times L\to K }[/math], линейная по каждому из аргументов:

[math]\displaystyle{ F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y) }[/math],
[math]\displaystyle{ F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z) }[/math],
[math]\displaystyle{ F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y) }[/math],
[math]\displaystyle{ F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y) }[/math],

здесь [math]\displaystyle{ x,y,z \in L }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda \in K. }[/math]

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение

В случае конечномерных пространств (например, [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math]) чаще используется другое определение.

Пусть [math]\displaystyle{ L }[/math] есть множество векторов вида [math]\displaystyle{ x=(x_1,x_2,\dots,x_n), }[/math] где [math]\displaystyle{ x_i \in K, i=\overline{1,n} }[/math].

Билинейными формами называются функции [math]\displaystyle{ F\colon L \times L \to K }[/math] вида

[math]\displaystyle{ F(x,y)=\sum_{i,\,j=1}^n a_{ij}x_i y_j, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x=(x_1,x_2,\dots,x_n), }[/math] [math]\displaystyle{ y=(y_1,y_2,\dots,y_n), }[/math] а [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] — некоторые константы из поля [math]\displaystyle{ K. }[/math]

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.

Связанные определения

  • Билинейная форма [math]\displaystyle{ F }[/math] называется симметричной, если [math]\displaystyle{ F(x,\,y)=F(y,\,x) }[/math] для любых векторов [math]\displaystyle{ x,y\in L }[/math].
  • Билинейная форма [math]\displaystyle{ F }[/math] называется кососимметричной (антисимметричной), если [math]\displaystyle{ F(x,\,y)=-F(y,\,x) }[/math] для любых векторов [math]\displaystyle{ x,y\in L }[/math].
  • Вектор [math]\displaystyle{ x\in L }[/math] называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству [math]\displaystyle{ M \subset L }[/math] относительно [math]\displaystyle{ F }[/math], если [math]\displaystyle{ F(x,\,y)=0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ y\in M }[/math]. Совокупность векторов [math]\displaystyle{ x\in L }[/math], ортогональных подпространству [math]\displaystyle{ M \subset L }[/math] относительно данной билинейной формы [math]\displaystyle{ F }[/math], называется ортогональным дополнением подпространства [math]\displaystyle{ M \subset L }[/math] относительно [math]\displaystyle{ F }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ M^{\perp} }[/math].
  • Радикалом билинейной формы [math]\displaystyle{ F }[/math] называется ортогональное дополнение самого пространства [math]\displaystyle{ L }[/math] относительно [math]\displaystyle{ F }[/math], то есть совокупность [math]\displaystyle{ L^{\perp} }[/math] векторов [math]\displaystyle{ x\in L }[/math], для которых [math]\displaystyle{ F(x,\,y)=0 }[/math] при всех [math]\displaystyle{ y\in L }[/math].

Свойства

  • Множество всех билинейных форм [math]\displaystyle{ W(L,L) }[/math], заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе [math]\displaystyle{ e_1,\ldots,e_n }[/math] в [math]\displaystyle{ L }[/math] любая билинейная форма [math]\displaystyle{ F }[/math] однозначно определяется матрицей
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} F(e_1,\,e_1) & F(e_1,\,e_2) & \ldots & F(e_1,\,e_n) \\ F(e_2,\,e_1) & F(e_2,\,e_2) & \ldots & F(e_2,\,e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F(e_n,\,e_1) & F(e_n,\,e_2) & \ldots & F(e_n,\,e_n) \end{pmatrix}, }[/math]

так что для любых векторов [math]\displaystyle{ x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n }[/math] и [math]\displaystyle{ y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n }[/math]

[math]\displaystyle{ F(x,\,y)=\begin{pmatrix} x^1 & x^2 & \ldots & x^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F(e_1,\,e_1) & F(e_1,\,e_2) & \ldots & F(e_1,\,e_n) \\ F(e_2,\,e_1) & F(e_2,\,e_2) & \ldots & F(e_2,\,e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F(e_n,\,e_1) & F(e_n,\,e_2) & \ldots & F(e_n,\,e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix}, }[/math]

то есть

[math]\displaystyle{ F(x,\,y) = \sum_{i,j=1}^n f_{ij}\, x^i y^j, \ \quad f_{ij} = F(e_i,\,e_j). }[/math]
  • Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
  • Размерность пространства [math]\displaystyle{ W(L,L) }[/math] есть [math]\displaystyle{ \dim W(L,L)=(\dim L)^2 }[/math].
  • Несмотря на то, что матрица билинейной формы [math]\displaystyle{ F }[/math] зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы [math]\displaystyle{ F }[/math]. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен [math]\displaystyle{ \dim L }[/math].
  • Для любого подпространства [math]\displaystyle{ M \subset L }[/math] ортогональное дополнение [math]\displaystyle{ M^{\perp} }[/math] является подпространством [math]\displaystyle{ M^{\perp} \subset L }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \dim L^{\perp} = \dim L - r }[/math], где [math]\displaystyle{ r }[/math] — ранг билинейной формы [math]\displaystyle{ F }[/math].

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе [math]\displaystyle{ X^i }[/math] выражаются через координаты в новом [math]\displaystyle{ x^i }[/math] через матрицу [math]\displaystyle{ \beta }[/math] [math]\displaystyle{ X^i = \sum \beta^i_j x^j }[/math], или в матричной записи [math]\displaystyle{ X = \beta x }[/math], то билинейная форма [math]\displaystyle{ F }[/math] на любых векторах [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] запишется, как

[math]\displaystyle{ F(x,\,y) = \sum_{i,j} F_{ij} X^i Y^j = \sum_{i,j,k,m} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m x^k y^m }[/math],

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

[math]\displaystyle{ f_{km} = \sum_{i,j} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m }[/math],

или, в матричной записи:

[math]\displaystyle{ f = \beta^T F \beta }[/math],
[math]\displaystyle{ \beta = \alpha^{-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — матрица прямого преобразования координат [math]\displaystyle{ x = \alpha X }[/math].

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством [math]\displaystyle{ \text{Hom}(V\otimes V, k) }[/math], где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, [math]\displaystyle{ \text{Hom} (V \otimes V, k) \cong \text{Hom}(V, \text{Hom}(V,k)) }[/math], то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из [math]\displaystyle{ V }[/math] в двойственное пространство [math]\displaystyle{ V^* }[/math]. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

[math]\displaystyle{ B_1(\mathsf{v})=B(\mathsf{v},\cdot) }[/math]

[math]\displaystyle{ B_2(\mathsf{v})=B(\cdot,\mathsf{v}) }[/math].

См. также

Литература

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Билинейная_форма&oldid=5812295